钢琴为什么要有黑键
  • 来源:科普时报
  • 作者:卢 源
  • 2020-05-26 12:07


《渴望不可能——数学的惊人真相》,[美]约翰·史迪威著,涂泓 冯承天译,上海科技教育出版社2020年3月第1版。


钢琴的琴键设计,每一组都由7个白键和5个黑键组成。白键对应的就是哆来咪发唆拉西,那为什么还要有黑键呢?

话说在古希腊,毕达哥拉斯学派发现,当琴弦的长度成较小的整数之比时,弹拨琴弦会出现和声。弦的长度比为2:1时,是最和谐的八度音程;长度比为3:2时,是第二和谐的五度音程;长度比为4:3时,是四度音程。八度音程如此和谐,以至于我们对相差八度的高音音符与低音音符的感觉是“相同”的。

毕达哥拉斯学派还发现,音调相加对应的是比例相乘。例如,他们知道一个五度加上一个四度就等于一个八度,这是因为3/2×4/3=2。

那么,能不能通过将八度分成相等的音级来将五度、四度都包括在内呢?毕达哥拉斯学派的信徒们不断尝试,但一直没有成功。看来,这个问题的答案是——

不可能

我们现在知道,他们的尝试注定会失败。因为3/2的整数次方不可能等于2的整数次方,所以无论将多少个五度相加,永远不可能得到八度。将四度相加也一样。

传统的中国音乐将八度音程分为宫商角徵羽5个音级,相当于哆来咪唆拉,而中国音乐人也曾经尝试用纯五度的循环来构建音阶,结果陷入了同样的困境。可以说,这个问题同时困扰了中外音乐界。

令人惊奇的是,16世纪末,中国的朱载堉和荷兰的西蒙·斯蒂文几乎同时提出了相同的折衷解决方案,就是用一个八度的12等分(半音)来构建音阶。其中的五度是2的7/12次方,约等于1.498,与纯五度的3:2(就是1.5)非常接近。12个这样的五度,恰好能构成7个八度,这个由相等半音构成的体系,就是十二平均律。

回过头再看看钢琴琴键,每一组的7白5黑12个键就是12个音级。从哆往后7个键是唆,它就是刚才说的2的7/12 次方,对应一个五度;从哆往后12个键就是下一个哆,对应一个八度。

如今,在吉他等乐器的琴格布局中,也可以看到十二平均律的应用。将手指从一个琴格滑到下一个琴格,就会将振动琴弦的长度改变一个八度的12等分。

从数学的角度来看,十二平均律的基本比例2的1/12次方是一个无理数。但是,毕达哥拉斯学派不承认无理数,他们认为这样的数是“无理的”“荒谬的”。难怪他们搞不出十二平均律。

毕达哥拉斯学派认为不可能的无理数,解决了困扰人们多年的一个音乐问题。

努力把不可能变成可能

这是许多重大数学发现的源头。在《渴望不可能》中,你能发现更多这样的例子。数学家渴望发现不可能,渴望从不可能中做出新的发现。在日常生活和工作中,不也是这样吗?



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