黎曼与数学中最大的未解之谜
  • 来源:科普时报
  • 作者:卢 源
  • 2018-11-01 10:38


《素数之恋——黎曼和数学中最大的未解之谜》,约翰·德比希尔著,陈为蓬译,蔡天新音频导读,上海科技教育出版社2018年7月第1版。

    科学家故事

    9月24日,一场盛况空前的宣讲引爆了数学圈。89岁的阿蒂亚爵士对困扰数学界150多年的黎曼猜想(又称黎曼假设)的证明吸引了全世界的目光。

    这一简短证明的思路是基于一个物理上未被完全证明的常数,但该证明目前尚未经过同行审议。有些学者对其推演过程存疑,也有些学者对其证明方式质疑。种种迹象表明,黎曼猜想貌似并未被完全证明,人类距离真正搞清楚这一“世纪难题”还有一段路要走。

    1859年8月,时年32岁、还没什么名气的数学家黎曼向柏林科学院提交了一篇论文,题为“论小于一个给定值的素数个数”。在这篇论文中,黎曼只是附带提出了一个猜想,但这个猜想却在随后的年代里给无数学者带来了近乎残酷的压力。

    1900年8月8日,大数学家希尔伯特在第二届世界数学家大会上作了一个著名的演讲,提出了23个数学难题,黎曼猜想位列第8个。如今,其中的9个难题已经被完全解决,9个获得了部分解决,2个因提得过于宽泛而谈不上是否解决。在仅剩下的3个未被解答的难题中,有一个就是黎曼猜想。

    2000年5月,美国克莱数学促进会宣布,对七大悬而未决的数学难题以每个100万美元的赏格寻求解答。这七大难题以“千年难题”著称,它们都是在当今数学领域中最难以攻克且具最重要意义的问题。不出所料,黎曼猜想再次入选。

    一个猜想

    黎曼猜想关注的是素数分布的问题,它的具体表述是:有一个特定的函数(后人称之为黎曼ζ函数),除了一些比较普通的负偶整数零点外,它的其余非平凡零点的实部都是1/2。

    若想了解黎曼猜想,必须先了解素数定理。

    1792年前后,大数学家高斯发现,素数在自然数中的分布密度,接近于其对数的倒数。这个论断被称为素数定理,如何证明它成了当时数学界的顶级难题。

    1859年,黎曼在其提交的论文中运用了蕴涵着素数分布重要信息的欧拉乘积公式,并把素数和黎曼ζ函数的零点联系了起来。

    1896年,两位年轻的数学家阿达马和瓦莱·普桑在黎曼的基础上各自独立地证明了素数定理。

    作为比素数定理更强的命题,黎曼猜想在该定理被证明后进入了更加显眼的位置。在当今数学文献中,已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。这意味着:如果黎曼猜想及其推广形式被证明,所有那些数学命题就全都可以荣升为定理;如果黎曼猜想被否证,则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。

    1914年,英国数学家哈代证明了黎曼ζ函数有无穷多个非平凡零点的实部都是1/2,第一次在这条临界线上取得了一个重要成果。

    20世纪30年代初,法兰克福大学的西格尔在对黎曼遗稿进行深入研究时发现,黎曼在准备1859年的那篇论文时,提出了计算零点的一个好方法。但这个方法在论文中丝毫没有透露,完全隐藏在未发表的遗稿中。这个被意外发现的黎曼—西格尔公式,大大加速了黎曼ζ函数零点的计算工作。

    截至2000年底,数学家已经计算了50亿个零点,全部符合黎曼猜想。这是否意味着,黎曼猜想应该是成立的呢?答案是:不一定。在数学上,把猜想变成定理,是一件非常困难的事情。验证无穷多个点都符合猜想,永远做不完。但只要找到一个点不符合猜想,就可以把猜想推翻。

    一些轶事

    黎曼猜想看起来是成立的,但是它的成立,需要一个证明。150多年来,不知有多少数学家对黎曼猜想陷入迷恋状态。

    哈代就曾在寄给朋友的明信片中列出“新年心愿”,其中包括证明黎曼猜想、登顶珠穆朗玛峰,以及刺杀墨索里尼。依旧是这个哈代,在一次从丹麦回英国的途中,碰巧遇到暴风肆虐。他很担心小船会沉没,于是在上船前给朋友寄了一张明信片,上面写道:“我证明了黎曼猜想。” 如果哈代不幸遇难,因死无对证,后世将无法否认(当然也没法确认)他真的证明了黎曼猜想。然而,上帝不想让他有这样大的荣耀,所以没有让这条船沉没。

    “人工智能之父”图灵也被黎曼猜想深深吸引。1937年,他认定黎曼猜想不成立,于是想建造一个计算装置来生成一个反例。他向英国皇家学会申请了一笔款子,并在他所任教的剑桥大学国王学院亲自动手加工了一些齿轮。但遗憾的是,由于第二次世界大战的爆发,图灵的工作只能被迫中断。

    经过一个半世纪的研究,人们发现,黎曼猜想居然是掌握着打开各种科学和数学研究之门的钥匙:依赖于素数特性的现代密码编制术和破译术,其根基在于黎曼猜想;在20世纪70年代的一系列非凡性进展中,显示出甚至原子物理学也以尚未被完全了解的方式与这个猜想扯上了关系……


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